矩阵考研题(数学考研真题线性代数有一道题不懂怎么做错了)

λ是特征值，λ3求错了，对于矩阵，有∑λ=∑aii(特征值之和=矩阵的对角线元素之和)，你第二步时出错，令矩阵某行航向量α=(x,y,z),有x+y+z=3,α·a1=-x+2y-z=0,α·a2=-y+z=0,对于该线性方程组，系数矩阵B=[1 1 1],X=(x,y,z)T,b=(3,0,0)T,BX=b,而r(B)=3=r(B|b),BX=b有唯一解，X=(1,1,1)T，

-1 2 -1

0 -1 1

由此可知，A的行向量只能是X=(1,1,1)T,A=[1 1 1]

1 1 1

1 1 1

显然，λ1+λ2+λ3=a11+a22+a33=3,而λ1=λ2=0，则λ3=3

定理：实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的。

根据这个定理，A属于特征值3的特征向量与p1正交，所以是方程组x1+x2+x3=0的解。方程组的一组基础解系p2=(1,-1,0)'，p3=(1,1,-2)'是A属于特征值3的特征向量（这里适当选择p2,p3，使得它们与p1正交且p2,p3也正交（这样后续就无须正交化，只是化成单位向量就会得到正交矩阵P，容易求P的逆矩阵）。

把p1,p2,p3都化成单位向量，令P=(p1/√3,p2/√2,p3/√6)，则P是正交矩阵，且AP=PΛ，其中Λ＝diag(6,3,3)，所以A=PΛP'＝

4 1 1

1 4 1

1 1 4

如果前面的p2,p3是随便选取的一组基础解系，那么令P=(p1,p2,p3)后根据AP=PΛ求A时，需要计算P的逆矩阵，计算量稍大。